2022年4月6日水曜日

凸レンズでスクリーン上にできる実像の見え方を確かめる方法

凸レンズの実像はスクリーンにどのように映るか

 凸レンズでできる実像のでき方についてよく次のような問題が取りあげられます。

問1「次の図のようにFと穴を開けた板の実像をスクリーンに映したとき、凸レンズ側から見たときに実像はどのような形に見えるか。ア~エの中から選びなさい。」

図1 凸レンズでスクリーン上にできる実像の問題
図1 凸レンズでスクリーン上にできる実像の問題

 上図に実像を加えたものが下図のようになり、スクリーンに上下左右が反転した実像ができます。ですから上記の問題の答えはウになります。

図2 凸レンズでスクリーン上にできる実像の答え
図2 凸レンズでスクリーン上にできる実像の答え

 それでは問1の問題文が次の問2のようになったときに答えはどうなるでしょうか。

問2「次の図のようにFと穴を開けた板の実像をスクリーンに映したとき、スクリーン側から見たときに実像はどのような形になるか。ア~エの中から選びなさい。」

 問1の「凸レンズ側から見たときに」が「スクリーン側から見たときに」と変わっています。「スクリーン側から見たときに」はスクリーンの前側から見るのか、後側から見るのか釈然としない表現ですが、スクリーンの後側から見ると解釈しなければいけません。ですから、答えはスクリーンの後方(図ではスクリーンの右側)からみたときの実像の形を選ぶことになります。つまり答えはエです。

 凸レンズでできる実像の仕組みを理解しているかどうかを確認するのであれば、問題としては問1で十分なはずですが、問2のようにスクリーンを見る方向を変えた問題がよくあります。図2のように実像を書き込むことができていれば正しい答えを導くことはできると思いますが、問題をよく読まずにウと答えたり、あわてて誤答したりする人も多いでしょう。

 実際、問2に正答するには凸レンズでスクリーンに実像ができる仕組みの理解に加えてパズルのようなテクニックが必要です。問題をややこしくしているだけのような気もします。そうは言っても試験に出ますから、あわてずに正しい答えを導くことができるようにしておかなければなりません。このような問題では問題文をよく読んで、どの方向から見たときの実像を答えるのかしっかり確認しておく必要があります。

 次の図は物体とスクリーン上の実像を前後から見たときの見え方をまとめたものです。この図は物体と実像をそれぞれ表と裏から見たらどうなるかを示したものに過ぎません。じっくり考えれば答えを間違えることはありません。

物体とスクリーン上の実像を前後から見たときの見え方
図3 物体とスクリーン上の実像を前後から見たときの見え方

 しかしながら、あわてて混乱してしまうと図を見ていても正しい答えを導くことができなくなってしまいます。物体の形がこうだから上下左右反転してできた実像をこちらの方向から見たら・・・ややこしい限りです。テスト中には道具を使うこともできません。どうしたら良いでしょう。

凸レンズの中心を通る光線のみ考えてみる

 凸レンズでできる実像を考えるとき凸レンズを通る3本の光を考えて作図しますが、実像の向きだけを知りたいのであればレンズの中心を通る光線だけを考えれば十分です。これはピンホールを通る光線と同じです。この方法では凸レンズでできる実像の大きさは求めることができませんが物体に対して実像の向きがどうなるかはわかります。

ピンホールでできる
ピンホールでできる像

実像の見え方をどのように確認するか

 実像の見え方を確認する方法はいろいろなアイデアが出てくるかと思いますが、ここでは両手で確認する方法を紹介します。

 左手と右手を比べてみましょう。左手と右手は同じ形をしていますが重ね合わせることはできません。左手を鏡に映すと鏡の中に左手の虚像が見えます。この左手の虚像は右手と同じ形をしています。ですから左手と左手の虚像も重ね合わせることはできません。左手と右手の間に鏡が存在すると考えると、物体と鏡の中に映る虚像の関係を確かめることができます。左手と右手のような関係を鏡像の関係と言います。右手を鏡の中に映った左手の虚像と考えると、実際に鏡がなくても鏡にどのようにものが映るかを考えやすくなります。

左手と右手は鏡像の関係にある
左手と右手は鏡像の関係にある

 さてこの左手と右手の鏡像の関係を利用すると物体と凸レンズできる実像の関係を確かめることができます。物体と凸レンズでスクリーン上にできる実像の関係は上下左右が反転しています。そこで左手を物体としたときに凸レンズでスクリーン上にできる実像の見え方は上下を反転させた右手のようになります。

両手で物体と実像の関係を調べる
両手で物体と実像の関係を調べる

 親指と人差し指でLの字の形を作ったり、人差し指と中指と薬指の関節を利用したりすると物体と実像の関係がわかります。

 両手を下図のように並べて人差し指と中指と薬指の関節でFを考えてみましょう。

人差し指と中指と薬指の関節でFを考えて見る
人差し指と中指と薬指の関節でFを考えて見る①

 右手だけ上下をひっくり返します。

人差し指と中指と薬指の関節でFを考えて見る
人差し指と中指と薬指の関節でFを考えて見る②

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2022年1月20日木曜日

合わせ鏡(90度)に物体の虚像はどのように映るか

合わせ鏡をのぞいてみると

 1枚の平面鏡に自分の顔を映すと、頭は鏡の上側、あごは鏡の下側、左目は鏡の左側、右目は鏡の右側に映ります。それでは次の図のように2枚の平面鏡を直角につないだ合わせ鏡をのぞきこむと自分の顔はどのように映るでしょうか。

合わせ鏡(90度)をのぞいてみると
合わせ鏡(90度)をのぞいてみると

 この場合、頭は鏡の上側、あごは鏡の下側に映りますが、左目は鏡の右側に、右目は鏡の左側に映ります。試しに右眼をウインクしてみると、鏡の左側に映った目がウインクします。これは顔の左側が鏡の右側に、顔の右側が鏡の左側に映るからです。

 このとき光はどのような道筋を進んでいるのでしょうか。鏡に映すものを時計にして考えてみましょう。次の図の左側のように平面鏡の前に時計を置いて時計の真後ろから鏡をのぞくと文字盤がひっくり返った時計が映ります。このときの光の進み方を赤と青で示しました。光の反射の法則に従って一枚の鏡の中に時計の虚像が見えていることがわかります。

1枚の平面鏡に映る時計と2枚の合わせ鏡(90度)に映る時計
1枚の平面鏡に映る時計と2枚の合わせ鏡(90度)に映る時計

 右側のように2枚の平面鏡を直角に合わせ、鏡の接合面が中心になるように時計を置いて鏡の真後ろから鏡をのぞくと文字盤がひっくり返っていない時計が映ります。これは時計の左側から出た光が左側の鏡で反射し右側の鏡の中に映り、時計の右側から出た光が右側の鏡で反射し左側の鏡の中に映って見えるからです。2枚の鏡の中の虚像を全体として見ると文字盤がひっくり返っていない時計になります。

合わせ鏡で見える虚像の数

 次の図のように90度の合わせ鏡の前に物体を置いてのぞき込むと鏡の中に物体の虚像が3つ見えます。

合わせ鏡(90度)で見える虚像の数
合わせ鏡(90度)で見える虚像の数

 ここで鏡を合わせる角度を変えると見える虚像の数も変わります。合わせ鏡の角度をθとすると、見える虚像の数は次の式のようになります。光の直進性と光の反射の法則によって、鏡の角度と虚像の数が規則的な関係になるのです。たとえば60度では5個、30度では11個の虚像が見えます。

虚像の数=

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2022年1月6日木曜日

収差|図解 光学用語

収差とは(しゅうさ、optical aberration)

 凸レンズの光の進み方について、「レンズの光軸に平行に入る光は焦点に集まる」「物体の1点からでた光はレンズを通ったあと1点に集まり像をつくる」という約束があります。しかしながら、普通のレンズではこの基本的な約束が厳密には成り立たず光は1点に収束しません。この現象を収差といいます。

 レンズを通る光はレンズの表面のあらゆる位置でスネルの法則に従って屈折します。ところが普通のレンズの表面の形状は光軸に平行な光が焦点に集まるように設計されているわけではありません。

 たとえば球面レンズはレンズの表面が加工しやすいから球面にしているだけです。球面レンズは光軸に近い平行な光は焦点に集まりますが、光軸から離れたところの平行光は焦点とずれた位置に集まります。実際にその光の道筋をスネルの法則で計算すると、レンズの中心部と周辺部を通る光で焦点の位置がずれることがわかります。焦点の位置がずれるということは、光が1点に集まらず広がるということですから像がぼやけることになります。これを球面収差といいます。

 スネルの法則に従って厳密に光が1点に集まるようにレンズの表面を加工した非球面レンズには球面収差がありません。しかし、収差にはいろいろな種類があり、非球面レンズといえどもすべての収差を解決することはできません。たとえば、屈折率は光の波長によって異なるため、ある特定の波長の光でレンズの表面を設計しても、別の波長では光の道筋が異なります。この場合、光の波長によって焦点位置や像ができる位置がずれて像に色がついたり色がにじんだりする色収差が生じます。

 そのほか、収差には像が尾を引くコマ収差、像が歪んで物体と同じ形にならない歪曲収差、像ができる面が平面ではない像面湾曲、光軸から離れると像が歪む歪曲収差があります。色収差をのぞく収差は単色光で生じる収差で単色収差またはザイデルの5収差といいます。

収差単色収差球面収差光軸上で光が1点に集まらない
コマ収差光軸から離れたところで点像が尾を引く
非点収差縦方向と横方向で像のできる位置がずれる
像面湾曲像ができる面が平面ではなく歪曲している
歪曲収差光軸から離れると像が歪む
色収差軸上色収差光の波長によって結像位置が異なる
倍率色収差光の波長によって像の大きさが異なる
収差の分類

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2021年12月10日金曜日

全身を映す鏡の大きさが身長の半分になる証明

全身を映す鏡の大きさ

 次の図1は全身を平面鏡に映したときの様子を示したものです。つま先Bからでた光は鏡のQで反射して眼Oに届きますが、このとき光はOQの延長線上のB'からやってくるように見えます。同様に頭Aからでた光は鏡のPで反射して眼Oに届きますが、光はOPの延長線上のA'からやってくるように見えます。そのため、鏡の中に自分の姿(像)が見えることになります。鏡の中に見える物体の像を、虚像といいます。私たちは経験から光が直線することを知っているためA'やB'から光がやってくると判断してしまいますが、A'やB'から光はでていないことを理解しておきましょう。

全身を映す鏡の大きさ
全身を映す鏡の大きさ

 全身を映すのに必要な鏡の大きさは、光の反射の法則によって入射角と反射角が等しいため、物体と鏡との距離と関係なく身長の1/2になります。どうして身長の半分になるのか考えてみましょう。

 図において、つま先Bから出た光は鏡のあらゆる面で反射しますが、眼Oから見えるところは鏡のQの位置になります。入射角=反射角ですから、鏡のQの位置は、眼Oとつま先Bの距離OBの1/2になります。同様に頭Aから出た光は鏡のあらゆる面で反射しますが、眼Oから見えるところは鏡のPの位置になります。入射角=反射角ですから、鏡のPの位置は眼Oと頭Aの距離OAの1/2になります。この2つの距離はそれぞれO''QとO''Pに相当します。足し合わせると身長の半分の大きさになります。

数式で証明してみよう

 図において身長ABは次の式で表すことができます。

 

 全身を映すのに必要な鏡の大きさPQは次の式で表すことができます。

 

 O''PとO''QはそれぞれOA/2とOB/2になりますから

 

 よって

 

となり、全身を映す鏡の大きさPQは身長ABの半分になります。

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2021年12月3日金曜日

アントニ・ファン・レーウェンフックの単式顕微鏡|顕微鏡の歴史③

アントニ・ファン・レーウェンフック

 ロバート・フックの功績によって複式顕微鏡は理化学機器として発展していくことになりますが、拡大率の高い顕微鏡は像に色がついて見えたり、解像度が追い付かずぼやけて見えたりするなどの問題がありました。

 フックが複式顕微鏡を使って観察をしていた頃、オランダのアントニ・ファン・レーウェンフックはレーウェンフックは若い頃から従事していた織物商の仕事でルーペを使って生地を観察し品質を確認していました。そして普通の拡大鏡では見ることができない糸の品質を確認するため倍率の高い拡大鏡の自作に取り掛かりました。

アントニ・ファン・レーウェンフック
アントニ・ファン・レーウェンフック

レーウェンフックの顕微鏡

 レーウェンフックは直径1ミリメートル程度のガラス玉1個をレンズとして使った次の図のような単式顕微鏡を自作しました。レーウェンフックの顕微鏡は大きいものでも約5センチメートルでした。観察する試料をサンプルフォルダーの針の上に乗せて、2つのネジでレンズに対する位置とピントを合わせることができました。観察は太陽の方を向いてサンプルフォルダーの反対側からガラス玉を覗いて行います。

レーウェンフックの顕微鏡
レーウェンフックの顕微鏡

 レーウェンフックの顕微鏡の構造は簡単でしたが、高性能な顕微鏡を作るためにはいかにガラス玉レンズを上手に作るかが重要でした。レーウェンフックはレンズの製法を秘密にしていましたが、高品質で微小なガラス玉は溶融したガラス棒を引っ張ってできる細いガラス糸の端を溶融することによって作ることができます。

 レーウェンフックはミクロの世界を探求するため顕微鏡の改良を重ね生涯で実に500もの顕微鏡を自作しました。倍率の高いものとしては約270倍の顕微鏡が現存していますが、観察記録から考慮すると500倍の顕微鏡の製作に成功していたと考えられます。

 オランダの解剖学者ライネル・デ・グラーフはレーウェンフックの観察記録に注目し、1673年にロンドンの王位協会にレーウェンフックの顕微鏡と観察記録を紹介しました。同年、オランダのクリスティアーン・ホイヘンスの父がロバート・フックにレーウェンフックを紹介しています。以降、レーウェンフックは王位協会に観察記録を送りました。レーウェンフックは1674年に赤血球、1676年に微生物を発見したことを報告しています。

繊毛虫のスケッチ
繊毛虫のスケッチ

 レーウェンフックは学術の専門的な教育を受けていなかったため、正式な論文を書くことはできませんでした。口語的なオランダ語で書かれてた報告書を王位協会がラテン語に翻訳して発表しました。1680年、レーウェンフックは功績が認められ王立協会の会員として迎えられました。

アントニ・ファン・レーウェンフックの単式顕微鏡|顕微鏡の歴史③

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